Math - problèmes divers à résoudre

Bonjour,

une façon de s'entraîner ou de s'aider (tout dépend de quel côté on se place !). Je vous propose de laisser dans ce post différents problèmes qui vous posent soucis et que vous aimeriez voir résolu par une âme charitable ... J'inaugure avec :

Deux gares A et B sont reliées par une ligne de chemin de fer qui fonctionne 24 heures sur 24.
A chaque heure entière, un train part de la gare A vers la gare B.
A chaque heure entière plus dix minutes, un train part de la gare B vers A.
Pour simplifier le raisonnement, on supposera que les trains roulent à la même vitesse et que
cette vitesse est constante.
Paul part de la gare A à neuf heures.
1) a) Si le trajet de A à B (ou de B à A) dure six heures, combien Paul va-t-il croiser de trains
venant de B ?
b) Durant ces six heures, combien de croisements de trains se sont produits ?
2) a) Même question que 1) a), mais le trajet dure n heures (n étant un entier naturel non nul).
b) Même question que 1) b), mais le trajet dure n heures (n étant un entier naturel non
nul).

Merci à celui ou celle qui prendra le temps de m'aider ... A +

1) a) Trajet = 6h
Train partant de B toutes les 1h10
En partant à 9h de A vers B, donc arrivée à 15h, Paul croisera donc les trains qui partent de B à:
- 9h10
- 10h20
- 11h30
- 12h40
- 13h50
Paul croisera donc 5 trains (le dernier trajet B => A partant à 15h on ne le compte pas)
b) nombres de train dans le sens A -> B = 6
nombres de train dans le sens B -> A = 5
Il a donc eu 6*5 croisements donc 30 croisements.


Bon j'ai mis ça mais pas certaine de moi ...
Et pour la question 2 je pense qu'il faut mettre ça sous forme qu'une équation mais aucune idée de comment mettre ça en place ...

Alors moi j'avais commencé en supposant que les trains qui allaient de B à A partaient à 9h10, 10h10, 11h10,...
Mais si l'on considère qu'ils partent comme l'a dit Klervi toute les 1h10. Alors rien ne nous dit que le premier train partant de B le fait à 9h10... Cela n'est précisé nulle part. Il peut très bien partir à 9h et le suivant à 10h10... Suis-je clair ?

L’énoncé étant ambigu, j’ai considéré que les trains partaient à chaque heure + 10 min, soit 9h10, 10h10, 11h10, 12h10…

Donc pour 1)a) Reprenons la démarche de Klervi :
Le train partant de A à 9h, arrivera donc à 15h pour un trajet de 6h. Il croisera donc les trains partant de B à 9h10, 10h10, 11h10, 12h10, 13h10 et 14h10.
Soit 6 trains.

1)b) Alors là cela se complique. Je ne suis pas d’accord avec toi Klervi.

Le premier train partant de A à 9h, que l’on appellera x9 croisera donc 6 trains comme l’on a put le voir dans le petit a. Le train partant de B à 9h10, appelé y9 croisera donc quand à lui 6 trains également (x9, x10, x11, x12, x13, x14).
Il y a cependant un croisement en commun avec le premier train. En effet le croisement du train x9 et y9 à déjà été compté dans les 6 croissements de x9. Donc résultat 6-1 : 5 croisements supplémentaire.

De même le train qui part de A à 10h (x10) croisera 5 trains : y9, y10, y11, y12 et y13. Mais le croisement x10 et y9 à déjà été compté dans les croisements de y9. Donc résultat 5-1 : 4 croisements supplémentaires.

Si l’on continue dans cette démarche y10 croisera 5 trains dont 2 ont déjà été compté (les croisements avec x9 et x10) donc cela donne 3 croisements supplémentaires.

Et l’on finit avec x12 et y12 qui ne se croisent pas à 5 min près…
Cela donne 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 croisements.

Alors maintenant si vous n’avez rien compris. Ce qui serrait tout à fait logique avec mes explications un peu merdiques. Je vous propose l’invention du « Bon-Dieu » en Maths et Sciences : Le schéma !!!



Grâce au schéma, on peut remarquer que les trains y (ceux qui vont de B à A) s’arrêtent 10min avant l’heure pile du trajet. Donc x10 ne croise pas y14, x11 ne croise pas y13, x12 ne croise pas y12, de même pour x13 avec y11 et pour x14 avec y10.

Maintenant que vous avez le schéma vous pouvez compter les croisements pour chaque train… Et n’oubliez pas de retrancher les croisements déjà comptés.


2)a) Soit n le nombre d’heures de trajet.
Le train x9 croisera donc n trains.

2)b) Le nombres de croisements sera donc le résultat de l’opération :

n + (n-1) + ((n-1)-1) + ((n-1)-2) + ((n-2)-2) + ((n-2)-3) + ((n-3)-3) + …

Soit : n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + (n-4) + (n-5) + (n-6) + …+ (n-(n-2)) + (n-(n-1)) + (n-n)


Ben voilà je ne suis pas sûr à 100 % de mon coup.
Et sachant que cela marche si l’on considère que les trains partant de B le font à 9h10, 10h10, 11h10, 12h10… si l’on considère comme Klervi qu’ils partent tout les 1h10, alors ça change tout…
Dites-moi le bon énoncé, et s’il faut considérer comme Klervi, je refais l’exos.

Quelqu'un à d'autres méthodes, d'autres réponses

Lejeune je pense que tu dois avoir raison pour le départ des trains (mais ça reste ambigu) ils doivent partir à 9h10, 10h10, 11h10 ...

pour 1) b) effectivement j'avais pas pensé aux croisements compté en double ... (ou plus)
(en même temps j'ai fait ça à la va-vite du boulot sur un p'tit bout de papier c'était pour tenter !)

Pour moi, je ne l'ai pas vu comme ambigu l'énoncé et j'ai compris que les trains qui allaient de B à A partaient à 9h10, 10h10, 11h10,...

Donc en 1a) j'ai 6 croisements aussi.

Pour le 1b) j'avais trouvé ça, mais en faisant une erreur car en voyant le schéma maintenant, je sais que je comptais des croisements de train qui ne pouvait pas se croiser... lol ( 14h et 14h10 par exemple!)

2a) n croisements
2b) je vais revoir ça de suite!

Citation :

A chaque heure entière, un train part de la gare A vers la gare B.
A chaque heure entière plus dix minutes, un train part de la gare B vers A.

Donc le train B part bien à 9h10, 10h10, 11h10,...

Pas le temps pour le moment de faire l'exo, j'essaierai peut-être cet a-m

Je pense comme toi Klervi mais pour la question b je ne sais pas si on doit compter le 6eme départ

C'est vrai qu'avec le schema, c'est un peu plus clair

Alors ma version compléte:

1a) 6 croisements (comme on l'a expliqué plus haut)

1b) Je vois ça de façon beaucoup plus simple que Lejeune en fait.
Le train de 9h va croiser 6 trains : ceux parti à 9h10, 10h10, 11h10, 12h10, 13h10 et 14h10.
Le train de 10h va croiser 5 trains : 9h10, 10h10, 11h10, 12h10, 13h10
Le train de 11h va croiser 4 trains : 9h10, 10h10, 11h10, 12h10
Le train de 12h va croiser 3 trains: 9h10, 10h10, 11h10
Le train de 13h va croiser 2 trains : 9h10, 10h10
Le train de 14h va croiser 1 train : 9h10.

Et avec ça j'ai déja tout les croisements! Puisque j'ai les croisements des trains partant de A avec ceux partant de B : donc

Donc total croisement : 1+2+3+4+5+6= 21 croisements

2)a) n croisements

b) Là aussi j'ai plus simple comme écriture
nombre de croisements = 1+2+3+4+...+(n-1)+n

(D'ailleurs il me semble qu'il y a une manière mathématique d'écrire ça, pas moyen de m'en souvenir, si quelqu'un sait)

Voilà

Ah oui Dared pour 1)b) je comprend mieux comme ça !

et pour 2) je pige bien aussi !

merci !!!

Dared, c'est vrai que ta forme d'écriture est plus simple. Cela revient au même pour le résultat, mais c'est plus facile à la lecture.

Edit : 1+2+3+4+5+...+n = (n(n+1))/2
Donc pour n=6 : (6*(6+1))/2 = (6*7)/2 = 42/2 = 21 croisements !!!

Oui bien sûr cela revient au même!

En tout cas je retiens l'idée du schéma pour m'aider dans mes idées!

Edit: Merci pour l'écriture n(n+1)/2 , c'était de ça que j'avais un vague souvenir!

Moi, j'étais plus partie comme toi Lejeune soit que les trains partaient à chaque heure + 10 min, soit 9h10, 10h10, 11h10, 12h10, 13h10 et 14h10. Et donc que Paul croisera ces 6 trains.

Par contre, pour le b/ j'aurai considéré que de A vers B, il y avait 7 trains qui étaient partis depuis 9 H (9/10/11/12/13/14/15). Ensuite, un peu moins compliqué, j'aurais considéré qu'il y avait 6*7 croisements de trains soit 42. Je vais revoir ça ...

Je viens de comprendre ... Merci à tous ! (c'était un sujet CRPE Guyane 2003).

lnmicka, As tu le corrigé ? Pour voir si c'est bien avec train à 9h10, 10h10, 11h10,...

Et vérifié nos réponses...

Merci !

Non, c'est pour ça que je faisais appel au forum !!! Mais à mon avis c'est OK comme ça. Et je pense qu'on peut considérer que le pb est résolu.
Mais, je pense que je vous solliciterai à nouveau dans pas longtemps !

Encore merci

Bonjour a tous,

je me permets de répondre a ce message car un petit quelque chose me trouble...
Je suis globalement d'accord avec vos réponses (Paul croise 6 trains) mais pour la suite je ne suis que partiellement d'accord mais je souhaiterais avoir votre avis.
Moi je trouve plus de croisements si je ne me suis pas trompée. En effet, comme les trains circulent 24h/24, il faut prendre en compte également les trains qui sont partis avant 9 h (a partir de 4 h pour A et de 3h pour B). Je m'explique : le train qui part de A a 4h va arriver en B a 10h, il va donc croiser le train de 9h10, de même le train qui part de B a 4h10 va arriver en A a 10h10, il va donc croiser le train de 9h et le train de 10h (et ces croisements ont bien lieu pendant les 6 heures en question).
D'ailleurs une question me vient, est-ce qu'il faut inclure 9h et 15h car cela modifie la réponse (81 ou 93)?

Qu'en pensez-vous (et désolé de relancer le débat qui se finissait sur une bonne note!)

Ah oui Bribelcy a raison on a oublié les trains qui étaient partis avant 9h !!!

Mince, c'est vrai que c'est précisé dans l'énoncé qu'ils fonctionnent 24/24 ... Ca complique la chose !

putain c'est chaud les énoncés en fait ! faut vraiment tout décortiqué car on loupe facilement un truc !

Olà, on avait zappé complet ceux qui sont déjà partis avant... Mais alors ca change tout et même pour la première question...

Du coup le train de 9h va croiser plus que 6 trains ! Il va en croiser 12 ! Et oui les 6 que l'ont à déjà calculer + ceux de 3h10 (arriver à 09h10) ; 4h10 ; 5h10 ; 6h10 ; 7h10 ; 8h10 !!!

Bon j'aipas le temps là, mais du coup il faudra que je refasse out l'exos !!!

Bien vu bribelcy !!!

Ah effectivement Bribelcy, on était toutes tombé dans le panneau et on avait oublié des trains!
Paul va croiser plus de 6 trains aussi effectivement.
Faut recalculer tout ça!

Bon, j'ai refait l'exercice, dites moi ce que vous en pensez, je ne sais pas si j'en ai encore oublié en cours de route?

1a) Le train partant de A à 9h, arrivera donc à 15h pour un trajet de 6h.
Il croisera donc :
-les trains partis de B à 3h10, 4h10, 5h10, 6h10, 7h10 et 8h10. (qui arriveront en A respectivment à 9h10, 10h10, etc)
-les trains qui partiront de B à 9h10, 10h10, 11h10, 12h10, 13h10 et 14h10.

12 croisements

1b) Entre 9h et 15h :
Le train de 9h va croiser 12 trains : (voir petit a)
Le train de 10h va croiser 10 trains : 4h10, 5h10, 6h10, 7h10, 8h10, 9h10, 10h10, 11h10, 12h10, 13h10
Le train de 11h va croiser 8 trains : 5h10, 6h10, 7h10, 8h10, 9h10, 10h10, 11h10, 12h10
Le train de 12h va croiser 6 trains: 6h10, 7h10, 8h10, 9h10, 10h10, 11h10
Le train de 13h va croiser 4 trains : 7h10, 8h10, 9h10, 10h10
Le train de 14h va croiser 2 train : 8h10, 9h10.

Donc total croisement : 12+10+8+6+4+2= 42 croisements

2)a) 2n croisements

b) nombre de croisements = 2+4+6+8+...+(2n-2)+2n

Allez je vous en lance un petit sympa.

Académie de Besançon - avril 2005

Les nombres a, b et c sont des nombres entiers tels que 0 < a <= b <= c
On suppose que a, b et c sont les mesures de longueur des côtés d'un triangle rectangle.

Montrez que l'un au moins de es trois nombres est pair.

PS : <= est à lire plus petit ou égale. Désolé j'ai pas trouvé le signe exacte !!!

Quelqu'un a re-vérifié ce que j'avais fait pour l'autre exercice?

Lejeune, c'est important ça : "Les nombres a, b et c sont des nombres entiers tels que 0 < a <= b <= c" ?
Parce que j'ai essayé vite fait, mais je ne l'utilise pas.